从数学的角度判断车头距障碍的距离

在驾驶的过程中，我们总需要判断车头距离障碍物的距离，以确保安全驾驶。经常看到有文章从参照点的方式来估计距离。本文将从数学的角度，探讨如何通过简单的计算和测量，来估算车头与障碍物之间的距离。

基本原理

在使用参照点法时，我们通常会选择车头的阻档视线的某个位置为参照点，如果坐姿高，一般是车头引擎盖的前端位置，如果坐姿低，是前挡风玻璃的下端位置。然后通过观察障碍物与参照点之间的相对位置，来判断距离。

数学模型

假设我们眼睛E到地面的高度为$H_e$，车头参照点R到地面的高度为$H_r$，E点到R点的水平距离为$D_{er}$，R在墙面上视线方向投影点O的高度为$H_o$，通过三角形的相似原理，我们就可以计算出车头R到障碍物O的水平距离$D_{ro}$。

上图可以转化成下图的模型：

图中 F 点为车头前端在地面上的位置，通常会比参考点 R 的地面投影略靠前；$D_{rf}$ 表示参考点 R 到车头前端 F 的水平偏移。

根据上面两个橙色三角形相似的性质，可以得到以下关系：
$$\frac{H_e - H_r}{D_{er}} = \frac{H_r - H_o}{D_{ro}}$$
通过变形，我们可以得到车头R到障碍物O的距离$D_{ro}$:
$$D_{ro} = D_{er} \cdot \frac{H_r - H_o}{H_e - H_r}$$

假设我们有以下已知量：

• 眼睛E到地面的高度$H_e$ = 1.5m
• 车头参照点R到地面的高度$H_r$ = 1m
• 我们坐位眼睛到参考点的水平距离为$D_{er}$ = 2.5m

那么，当我们观察在视线方向上与障碍物的交点O的高度$H_o$时，我们可以计算出车头R到障碍物O的距离$D_{ro}$。

• $H_o$ = 0m时，$D_{ro}$ = 2.5 * 1 / 0.5 = 5m，如文中所说，当眼睛刚好看到前车轮胎时，距离5m
• 当$H_o$ = 0.5m时，$D_{ro}$ = 2.5 * 0.5 / 0.5 = 2.5m
• 当$H_o$ = 0.7m时，$D_{ro}$ = 2.5 * 0.3 / 0.5 = 1.5m
• 当$H_o$ = 0.8m时，$D_{ro}$ = 2.5 * 0.2 / 0.5 = 1m
• 当$H_o$ = 0.9m时，$D_{ro}$ = 2.5 * 0.1 / 0.5 = 0.5m

但注意，$D_{ro}$ 是参考点 R 到障碍物的距离，而非车头前端到障碍物的距离。由于参考点一般不在车的最前端，还需修正一下，减去参考点 R 到车头前端 F 的固定距离 $D_{rf}$，得到最终公式：

$$D_{ro} = D_{er} \cdot \frac{H_r - H_o}{H_e - H_r} - D_{rf}$$

实际距离更近，应留有冗余。这也解释了为什么轿车驾驶员（坐姿低，参考点在前挡风玻璃下端）在看到前车轮胎下缘时，实际感受到的距离会比 5m 更近——因为轿车的 $D_{rf}$（参考点到车头前端的距离）比 SUV 更大。

实际应用

在实际驾驶中，我们可以通过以下步骤来估算车头与障碍物的距离：

1. 测量高度：测量眼睛E到地面的高度$H_e$，车头参照点R到地面的高度$H_r$，眼睛E到参考点R的水平距离$D_{er}$，以及参考点R到车头前端F的距离$D_{rf}$。
2. 观察障碍物：驾驶时，观察障碍物在视线方向上与障碍物表面的交点 O 的高度 $H_o$。
3. 计算距离：公式中 $K = \frac{D_{er}}{H_e - H_r}$ 是一个只与车辆和驾驶员体型有关的常量，可以提前算好。公式简化为：
   $$D_{ro} = K \cdot (H_r - H_o) - D_{rf}$$
   在上面的例子中 $K = \frac{2.5}{1.5 - 1} = 5$，根据观察到的 $H_o$ 即可快速心算出车头到障碍物的距离。